3 运用运动学模型实现路径跟踪
将车辆系统模型简化为运动学自行车模型是一种常用的近似方法，常用于机器人的运动规划、简单的车辆分析和（还有几何模型方法）得出直观的控制规律。本章给出了该模型的运动学方程。此外，本文还应用了针对于约束系统的控制理论的一个重要方法来重新建立运动方程，并给出了路径跟踪问题的解决方案。该方法的应用使得我们能够使用著名的控制理论工具来设计控制器并进行稳定性分析。
3.1 运动学自行车模型
图18：运动学自行车模型
汽车的运动学自行车模型的运动方程在文献[5,11,6,4]中很容易得到。为了使论文完整起见，这里包含了模型的推到证明。运动学自行车模型将左右车轮简化成一对位于前后轴中心的单轮，如图18所示。假定车轮没有横向滑移，只有前轮是转向轮。并且限制这个模型只能在二维平面上运动，前轮和后轮的非完整约束方程是：
$$
\dot{x}{f} \sin (\theta+\delta)-\dot{y}{f} \cos (\theta+\delta)=0
$$
$$
\dot{x} \sin (\theta)-\dot{y} \cos (\theta)=0
$$
其中$(x,y)$是后轮在全局坐标（笛卡尔坐标系）,(xf,yf)是前轮的全局坐标,$θ$是车辆在全局坐标系下的航向角,$δ$是车身坐标系下的转向角。由于前轮与后轮在车辆航向方向上距离为$L$，(xf,yf)可表示为:
$$
\begin{array}{l}{x_{f}=x+L \cos (\theta)} \
{y_{f}=y+L \sin (\theta)}\end{array}
$$
在等式(1)中除去：
$$
\begin{align}
\begin{aligned} 0=& \frac{d(x+L \cos (\theta))}{d t} \sin (\theta+\delta)-\frac{d(y+L \sin (\theta))}{d t} \cos (\theta+\delta)
\
=&(\dot{x}-\dot{\theta} L \sin (\theta)) \sin (\theta+\delta)-(\dot{y}+\dot{\theta} L \cos (\theta)) \cos (\theta+\delta)
\
=& \dot{x} \sin (\theta+\delta)-\dot{y} \cos (\theta+\delta)
\
&-\dot{\theta} L \sin (\theta)(\sin (\theta) \cos (\delta)+\cos (\theta) \sin (\delta)) \
&-\dot{\theta} L \cos (\theta)(\cos (\theta) \cos (\delta)-\sin (\theta) \sin (\delta))
\
=& \dot{x} \sin (\theta+\delta)-\dot{y} \cos (\theta+\delta)
\
&\begin{array}{l}{-\dot{\theta} L \sin ^{2}(\theta) \cos (\delta)-\dot{\theta} L \cos ^{2}(\theta) \cos (\delta)} \ {-\dot{\theta} L \sin (\theta) \cos (\theta) \sin (\delta)+\dot{\theta} L \cos (\theta) \sin (\theta) \sin (\delta)}\end{array}
\
=&\dot{x} \sin (\theta+\delta)-\dot{y} \cos (\theta+\delta)-\dot{\theta} L\left(\sin ^{2}(\theta)+\cos ^{2}(\theta)\right) \cos (\delta)
\
=& \dot{x} \sin (\theta+\delta)-\dot{y} \cos (\theta+\delta)-\dot{\theta} L \cos (\delta) \end{aligned}
\end{align}
$$
后轮上的非完整约束，根据公式(2)，$\dot{x}$=${cos(\theta)}$(和$\dot{y}$=${sin(\theta)}$，其中标量的任意倍数。这个标量对应纵向速度$v$，这样
$$
\dot{x}=v \cos (\theta)
$$
$$
\dot{y}=v \sin (\theta)
$$
应用这个公式在前轮的约束中，根据等式1计算出$\dot{\theta}$
$$
\begin{aligned} \dot{\theta}&=\frac{\dot{x} \sin (\theta+\delta)-\dot{y} \cos (\theta+\delta)}{L \cos (\delta)} \ &=\frac{v \cos (\theta)(\sin (\theta) \cos (\delta)+\cos (\theta) \sin (\delta))}{L \cos (\delta)} \end{aligned}
\
\begin{aligned} &-\frac{v \sin (\theta)(\cos (\theta) \cos (\delta)-\sin (\theta) \sin (\delta))}{L \cos (\delta)} \=& \frac{v\left(\cos ^{2}(\theta)+\sin ^{2}(\theta)\right) \sin (\delta)}{L \cos (\delta)} \=& \frac{v \tan (\delta)}{L} \end{aligned}
$$
车辆的瞬时曲率半径 $R$ 决定从$v$和 $\dot{\theta}$ 推导出的 $\theta$ 前面介绍的等式1：
$$
\begin{aligned} R &=\frac{v}{\dot{\theta}} \
\frac{v \tan (\delta)}{L} &=\frac{v}{R} \
\tan (\delta) &=\frac{L}{R} \end{aligned}
$$
为了实现控制，从等式5，6，7中，写出此运动学模型是很有必要的，模型在两个随机输入下的形式：
$$
\left[\begin{array}{c}{\dot{x}} \ {\dot{y}} \ {\dot{\theta}} \ {\dot{\delta}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\cos (\theta)} \ {\sin (\theta)} \ {\left(\frac{\tan (\delta)}{L}\right)} \ {0}\end{array}\right] v+\left[\begin{array}{c}{0} \ {0} \ {0} \ {1}\end{array}\right] \delta
$$
其中$v$是车辆的纵向速度，$\dot{\delta}$是车辆转向轮的角速度。
